• website icon

Модели расчёта
цены опциона

|
... · Обновлено: ... · Загрузка... · Загрузка просмотров...
Цена опциона на бирже не появляется случайно. За каждым значением стоит расчёт, который учитывает движение базового актива, выбранный страйк, срок жизни контракта и уровень волатильности. Эти параметры складываются в число, которое биржа называет теоретической ценой.

Для трейдера это не абстрактная формула, а ориентир. Сравнивая рыночную премию с расчётным значением, можно понять, выгодна сделка или нет. Именно поэтому на Московской бирже применяют разные модели расчёта цены опциона — и у каждой есть свои особенности и области применения.

В этом материале мы разберём три модели — Блэка–Шоулза, Блэка и Башелье. Они объясняют, почему биржа считает премию именно так, а не иначе. Понимание этих принципов помогает не только доверять цифрам в терминале, но и видеть, как рынок оценивает риск и время.
Опционы простыми словами

Зачем нужны модели расчёта цены опциона

Когда мы говорим о цене опциона, важно различать два понятия. Первая — это рыночная цена, то есть та премия, по которой готов купить или продать опцион другой участник торгов прямо сейчас. Вторая — теоретическая цена. Она рассчитывается по модели и показывает, сколько «должен» стоить опцион при текущих условиях.

Сравнивая эти два значения, можно сделать вывод о выгоде сделки. Если премия на рынке заметно выше теоретической, значит покупатель переплачивает. Если же ниже — у продавца есть риск продать слишком дёшево.

Модель даёт трейдеру ориентир. Она позволяет не гадать, дорого ли стоит опцион, а сравнить с расчётным значением и принять решение. Это помогает выбирать контракты осознанно и понимать, почему премия ведёт себя так или иначе.
\( C = S_0 \cdot N(d_1) - K \cdot e^{-rT} \cdot N(d_2) \)
\( P = K \cdot e^{-rT} \cdot N(d_2) - S_0 \cdot N(-d_1) \)
\( d_1 = \frac{\ln(S_0 / K) + (r + \tfrac{\sigma^2}{2})T}{\sigma \sqrt{T}} \; ; \; d_2 = \frac{\ln(S_0 / K) + (r - \tfrac{\sigma^2}{2})T}{\sigma \sqrt{T}} \)
C— теоретическая цена опциона CALL.
P— теоретическая цена опциона PUT.
S₀— текущая рыночная цена базовой акции.
K— страйк опциона.
T— время до экспирации. Например, 30 дней = 30/365.
r— безрисковая процентная ставка (годовая).
σ— годовая волатильность базового актива.
N(x)— функция стандартного нормального распределения.
e— основание натурального логарифма (~2.71828).
ln— натуральный логарифм.

Модель Блэка–Шоулза для акций

Эта модель считается классической и лежит в основе расчёта теоретической цены опционов на акции. Её суть в том, что цена базового актива ведёт себя как непрерывный процесс и остаётся положительной.

В формулу входят несколько ключевых параметров. Это рыночная цена базового актива, страйк, время до экспирации, показатель волатильности и безрисковая процентная ставка.

Волатильность выражается в годовом измерении, то есть показывает, насколько сильно цена может колебаться в среднем за год.

Для начинающего трейдера важно помнить, что эта модель не учитывает дивиденды, неожиданные рыночные события и возможные резкие скачки волатильности. Поэтому теоретическая цена служит ориентиром, а фактическая рыночная премия может отличаться.
\( C = e^{-rT}\,\big[\,F_0 \cdot N(d_1) - K \cdot N(d_2)\,\big] \)
\( P = e^{-rT}\,\big[\,K \cdot N(-d_2) - F_0 \cdot N(-d_1)\,\big] \)
\( d_1 = \frac{\ln(F_0/K) + \tfrac{\sigma^2}{2}\,T}{\sigma \sqrt{T}} \; ; \; d_2 = \frac{\ln(F_0/K) - \tfrac{\sigma^2}{2}\,T}{\sigma \sqrt{T}} \)
C— теоретическая цена опциона CALL.
P— теоретическая цена опциона PUT.
F₀— текущая цена фьючерсного контракта.
K— страйк опциона.
T— время до экспирации. Например, 30 дней = 30/365.
r— безрисковая процентная ставка (годовая).
σ— годовая волатильность базового актива.
N(x)— функция стандартного нормального распределения.

Модель Блэка для фьючерсов

Эта версия модели относится к семейству Блэка–Шоулза и известна также под названием Black‑76 и Black's Model. Она была предложена именно для опционов на фьючерсы. Главное отличие в том, что вместо цены базового актива на спотовом рынке в формулу подставляется цена фьючерса на этот актив.

Такая замена кардинально упрощает модель и делает её удобной для рынка деривативов, так как в цене фьючерса уже учтены дивиденды и другие издержки владения активом. Остальные параметры остаются теми же.

Для трейдера важно понимать, что модель Блэка используется по умолчанию для большинства опционов на фьючерсы на индексы, валюты и товары. Биржа выполняет все вычисления и показывает готовую теоретическую цену в терминале.
\( C = (F_0 - K)\cdot N(d) + \sigma \sqrt{T}\cdot n(d) \)
\( P = (K - F_0)\cdot N(-d) + \sigma \sqrt{T}\cdot n(d) \)
\( d = \frac{F_0 - K}{\sigma \sqrt{T}} \)
C— теоретическая цена опциона CALL.
P— теоретическая цена опциона PUT.
F₀— текущая цена фьючерсного контракта.
K— страйк опциона (может быть отрицательным).
T— время до экспирации. Например, 30 дней = 30/365.
σ— абсолютная волатильность (в пунктах цены, а не в %).
n(x)— плотность стандартного распределения.
N(x)— функция стандартного нормального распределения.

Модель Башелье

Эта модель была предложена французским математиком Луи Башелье ещё в начале XX века и стала первой попыткой математически описать случайные колебания цен. В отличие от семейства Блэка–Шоулза, здесь допускается, что цена фьючерса может быть очень низкой или даже отрицательной.

Основная идея в том, что изменения цены рассматриваются как линейный процесс. Поэтому волатильность измеряется не в процентах, а в пунктах цены фьючерса за год. В остальном расчёт использует те же параметры.

Пример из практики хорошо показывает важность этой модели. В 2020 году цены на нефть WTI на американском рынке впервые ушли ниже нуля. Для таких ситуаций классическая модель Блэка давала некорректный результат, а подход Башелье позволял рассчитать премию даже при отрицательных ценах. Именно такие сценарии объясняют, почему Московская биржа держит возможность переключения на эту методику.

Для трейдера важно понимать, что замена модели происходит автоматически на уровне клирингового центра. В терминале отображается уже готовая теоретическая цена. В моменты, когда расчёты ведутся по Башелье, динамика премии может выглядеть непривычно, и стоит помнить, что это связано с особенностями методики, а не с резкой сменой настроений участников.
F по результатам клиринга составила
$40.5
F по результатам клиринга составила
$18.7
F по результатам клиринга составила
$10.7
F по результатам клиринга составила
$25.3
  • Вероятность отрицательных цен низкая
  • Используется модель Блэка
  • НКЦ осуществляет стандартный мониторинг
  • Вероятность отрицательных цен средняя
  • Возможный переход на модель Башеле по решению НКЦ
  • НКЦ информирует участников клиринга при принятии решения о переключении на модель Башеле
  • Вероятность отрицательных цен высокая
  • Обязательный переход на модель Башеле в ближайший клиринг
  • НКЦ информирует участников клиринга о переключении на модель Башеле
  • Возможное обратное переключение на модель Блэка по решению НКЦ
  • НКЦ информирует участников клиринга в случае принятия решения об обратном переключении на модель Блэка

Как биржа переключает модели

В качестве примера возьмём фьючерс на нефть Light Sweet Crude Oil (CL). Для него минимальное значение MinPrice установлено на уровне $13,85.

Чтобы определить, какая модель используется для расчёта премии опционов, НКЦ применяет систему зон мониторинга. В основе лежит сравнение расчётной цены ближайшего фьючерса (F) с заданным значением MinPrice.

  • Зелёная зона — если цена фьючерса выше чем 20,78 (это 1,5 × MinPrice).
→ работает модель Блэка.

  • Жёлтая зона — если цена между 13,85 и 20,78.
→ по умолчанию остаётся модель Блэка, но НКЦ может включить Башелье.

  • Красная зона — если цена падает ниже 13,85.
→ применяется модель Башелье.

Актуальные значения зон и выбранная модель для каждого базового актива публикуются на сайте НКЦ в разделе риск-менеджмента.

Мини-глоссарий

Теоретическая цена опциона — цена, рассчитанная по математической модели. Показывает, сколько должен стоить опцион при текущих условиях, даже если рыночная премия отличается.

Рыночная цена опциона (премия) — фактическая стоимость, по которой опцион покупается или продаётся на бирже в данный момент.

Модель Блэка–Шоулза — классическая формула для расчёта теоретической цены опционов на акции. Основана на предположении о непрерывном движении цен и их положительных значениях.

Модель Блэка (Black‑76) — вариант модели Блэка–Шоулза, адаптированный для опционов на фьючерсы. Вместо спот‑цены используется цена фьючерсного контракта.

Модель Башелье — подход, который допускает очень низкие и даже отрицательные цены фьючерсов. Используется для расчётов в стрессовых ситуациях или на товарных рынках.

Безрисковая ставка — процентная ставка по инструментам с минимальным риском. В модели отражает стоимость денег во времени.

Волатильность — показатель того, насколько сильно и часто изменяется цена базового актива. В разных моделях измеряется по‑разному: в процентах за год или в пунктах цены фьючерса за год.

Базовый актив — финансовый инструмент, на который заключён опцион. Это может быть акция, индекс, валюта или товарный фьючерс.

Страйк — заранее определённая цена, по которой владелец опциона может купить или продать базовый актив.

Экспирация — дата окончания срока действия опциона. В этот момент контракт либо исполняется, либо прекращает существование.

В заключении

Расчётные модели нужны не для ручных вычислений, а для того чтобы понимать логику цены опциона. Биржа показывает уже готовую теоретическую цену в терминале, а задача трейдера — видеть за этим числом смысл.

Если инструмент находится в стабильной зоне, работает модель Блэка или Блэка–Шоулза. Когда появляется риск очень низких или отрицательных цен, НКЦ переключает расчёт на модель Башелье. В такие моменты премия может меняться быстрее и вести себя непривычно.

Для начинающего трейдера это ключевой ориентир. Теоретическая цена служит базой для сравнения с рыночной премией и помогает оценить, насколько сделка выглядит справедливой. Зная, какая модель применяется и в каких условиях она меняется, легче понимать динамику опциона и принимать решения.

В следующих материалах будет разобран грек Дельта. Этот показатель также рассчитывается на основе выбранной модели и помогает увидеть, насколько чувствителен опцион к движению базового актива.
журнал «точка тренда»
ПОД РЕДАКЦИЕЙ: Владимир Ткаченко

Вопросы, дополнения, опыт

Часто задаваемые вопросы FAQ

НАЧАТЬ ТЕСТИРОВАНИЕ

*для этого авторизуйся через Telegram справа
✅ Авторизация прошла успешно. Можешь приступать к тесту ниже.
Предыдущая тема
Волатильность HV и IV
Следующая тема
СКОРО...
Все материалы журнала «Точка Тренда» — тексты и изображения — являются авторскими и защищены законом.
Разрешено личное использование с обязательной ссылкой. Копирование и редактирование без согласия автора запрещены.

© Владимир Ткаченко / Точка Тренда / #тыжетрейдер